Z Transform Moving Average

Transformada Z A transformada Z e a transformada Z avançada foram introduzidas (sob o nome de transformada Z) por E. I. Jury em 1958 em Sampled-Data Control Systems (John Wiley amp Sons). A idéia contida dentro da transformada Z era anteriormente conhecida como o método da função geradora. Z-transform é um nome de marcador de posição, semelhante a chamar a transformar Laplace a s-transform. Mais preciso seria transformar Laurent, porque é baseado na série Laurent. A transformação Z (unilateral) é para sinais de domínio de tempo discretos o que a transformada de Laplace de um lado é para sinais de domínio de tempo contínuo. Definição A transformada Z, como muitas outras transformações integrais, pode ser definida como uma transformação unilateral ou de dois lados. Transformação Z bilateral A transformação Z bilateral ou bidimensional de um sinal de tempo discreto xn é a função X (z) definida como onde n é um inteiro e z é, em geral, um número complexo. Transformação Z unilateral Alternativamente, nos casos em que x n é definido apenas para n 8805 0, a transformada Z de um lado ou unilateral é definida como processamento de sinal In. Esta definição é usada quando o sinal é causal. Um exemplo importante da transformação Z unilateral é a função geradora de probabilidade. Onde a componente xn é a probabilidade de que uma variável aleatória discreta tome o valor n. E a função X (z) é usualmente escrita como X (s). Em termos de s z 87221. As propriedades das transformações Z (abaixo) têm interpretações úteis no contexto da teoria da probabilidade. Inversão da Transformação-Z A inversa da Transformação-Z é um caso especial desta integral de contorno que é simplesmente aquele onde é o círculo unitário (e pode ser usado quando o ROC inclui o círculo unitário) é a transformada de Fourier discreta inversa. . A transformação Z com uma gama finita de n e um número finito de valores z uniformemente espaçados pode ser calculada eficientemente através do algoritmo FFT de Bluesteins. A transformada discreta de Fourier (DFT) é um caso especial de uma tal transformada Z obtida ao restringir z a ficar no círculo unitário. Região de convergência A região de convergência (ROC) é onde a transformada Z de um sinal tem uma soma finita para uma região no plano complexo. Exemplo 1 (N ° ROC) Observando a soma Exemplo 2 (ROC causal) Observando a soma Exemplo 3 (RC anticausal) Observando a soma Exemplos de conclusão Exemplos 2 amp 3 mostram claramente que a transformada Z é única quando e somente quando Especificando o ROC. A criação do gráfico do pólo-zero para o caso causal e anticausal mostra que o ROC para qualquer caso não inclui o pólo que está em 0.5. Isso se estende a casos com vários pólos: o ROC nunca conterá pólos. A estabilidade de um sistema também pode ser determinada pelo conhecimento do ROC sozinho. Se o ROC contiver o círculo de unidade (i. e.) então o sistema é estável. Nos sistemas acima, o sistema causal é estável porque contém o círculo unitário. Se você precisa de estabilidade, o ROC deve conter o círculo da unidade. Se você precisa de um sistema causal, então o ROC deve conter o infinito. Se você precisa de um sistema anticausal então o ROC deve conter a origem. Propriedades Tabela de pares de transformação Z comunsIntrodução para Filtragem 9.3.1 Introdução à Filtragem No campo do processamento de sinal, o design de filtros de sinal digital envolve o processo de suprimir certas frequências e impulsionar outras. Um modelo de filtro simplificado é onde o sinal de entrada é modificado para obter o sinal de saída usando a fórmula de recursão. A implementação de (9-23) é direta e requer apenas valores iniciais, então é obtida por simples iteração. Uma vez que os sinais devem ter um ponto de partida, é comum exigir que e para. Enfatizamos este conceito fazendo a seguinte definição. Definição 9.3 (Sequência Causal) Dadas as sequências de entrada e saída. Se e para, a seqüência é dito ser causal. Dada a sequência causal, é fácil calcular a solução para (9-23). Use o fato de que essas seqüências são causais: A etapa iterativa geral é 9.3.2 Os Filtros Básicos Os três filtros básicos simplificados a seguir servem como ilustrações. (I) Zeroing Out Filter, (note que). (Ii) Boosting Up Filter, (note que). (Iii) Filtro de Combinação. A função de transferência para estes filtros de modelo tem a seguinte forma geral onde as transformadas z das sequências de entrada e saída são e, respectivamente. Na seção anterior, mencionamos que a solução geral para uma equação de diferença homogênea é estável somente se os zeros da equação característica estiverem dentro do círculo unitário. Da mesma forma, se um filtro é estável, então os pólos da função de transferência devem estar todos dentro do círculo da unidade. Antes de desenvolver a teoria geral, gostaríamos de investigar a resposta de amplitude quando o sinal de entrada é uma combinação linear de e. A resposta de amplitude para a freqüência usa o sinal de unidade complexa, e é definida como sendo A fórmula para será rigorosamente explicada após alguns exemplos introdutórios. Exemplo 9.21. Dado o filtro. 9,21 (a). Mostre que é um filtro de zeramento para os sinais ee calcule a resposta da amplitude. 9.21 (b). Calcule as respostas de amplitude e investigue o sinal filtrado para. 9.21 (c). Calcule as respostas de amplitude e investigue o sinal filtrado para. Figura 9.4. A resposta de amplitude para. Figura 9.5. A entrada ea saída. Figura 9.6. A entrada ea saída. Explore a Solução 9.21. Exemplo 9.22. Dado o filtro. 9.22 (a). Mostre que é um filtro de aumento para os sinais ee calcule a resposta da amplitude. 9.22 (b). Calcule as respostas de amplitude e investigue o sinal filtrado para. Figura 9.7. A resposta de amplitude para. Figura 9.8. A entrada ea saída. Explore a Solução 9.22. 9.3.3 A Equação de Filtro Geral A forma geral de uma equação de diferença de filtro de ordem é onde e são constantes. Observe cuidadosamente que os termos envolvidos são da forma e onde e, o que torna esses termos tempo atrasado. A forma compacta de escrever a equação de diferença é onde o sinal de entrada é modificado para obter o sinal de saída usando a fórmula de recursão. A parte zerará os sinais e aumentará os sinais. Observação 9.14. A fórmula (9-31) é chamada equação de recursão e os coeficientes de recursão são e. Ele mostra explicitamente que a saída atual é uma função dos valores passados, para, a entrada atual, e as entradas anteriores para. As sequências podem ser consideradas sinais e são zero para índices negativos. Com esta informação podemos agora definir a fórmula geral para a função de transferência. Usando a propriedade de mudança de tempo retardada para seqüências causais e tomando a transformada z de cada termo em (9-31). Obtemos Nós podemos fatorar fora das somas e escrever isto em uma forma equivalente Da equação (9-33) obtemos o que leva à seguinte definição importante. Definição 9.4 (Função de Transferência) A função de transferência correspondente à equação de diferença de ordens (8) é dada pela Fórmula (9-34) é a função de transferência para um filtro de resposta ao impulso infinito (filtro IIR). No caso especial quando o denominador é unidade torna-se a função de transferência para um filtro de resposta de impulso finito (filtro FIR). Definição 9.5 (Resposta unidade-amostra) A sequência correspondente à função de transferência é denominada resposta de amostra unitária. Teorema 9.6 (Resposta de Saída) A resposta de saída de um filtro (10) dado um sinal de entrada é dada pela transformação z inversa e em forma de convolução é dado por Outro uso importante da função de transferência é estudar como um filtro afeta Várias frequências. Na prática, um sinal de tempo contínuo é amostrado a uma frequência que é pelo menos o dobro da frequência do sinal de entrada mais elevada para evitar a dobra de frequência ou aliasing. Isso ocorre porque a transformada de Fourier de um sinal amostrado é periódica com o período, embora não vamos provar isso aqui. Aliasing impede a recuperação precisa do sinal original de suas amostras. Agora pode-se mostrar que o argumento da transformada de Fourier se mapeia no círculo da unidade do plano z através da fórmula (9-37), onde é chamada de frequência normalizada. Portanto, a transformada z avaliada no círculo unitário também é periódica, exceto com o período. Definição 9.6 (Resposta de amplitude) A resposta de amplitude é definida como a magnitude da função de transferência avaliada no sinal de unidade complexa. A fórmula é (9-38) sobre o intervalo. O teorema fundamental da álgebra implica que o numerador tem raízes (chamados zeros) eo denominador tem raízes (chamados pólos). Os zeros podem ser escolhidos em pares conjugados no círculo unitário e para. Para a estabilidade, todos os pólos devem dentro do círculo da unidade e para. Além disso, os pólos são escolhidos para serem números reais e / ou em pares conjugados. Isso garante que os coeficientes de recursão são todos números reais. Filtros IIR pode ser todo pólo ou pólo zero ea estabilidade é uma preocupação filtros FIR e todos os zero-filtros são sempre estáveis. 9.3.4 Design de Filtros Na prática, a fórmula de recursão (10) é usada para calcular o sinal de saída. No entanto, o design do filtro digital é baseado na teoria acima. Começa-se selecionando a localização de zeros e pólos correspondente aos requisitos de projeto do filtro e construindo a função de transferência. Como os coeficientes em são reais, todos os zeros e pólos com um componente imaginário devem ocorrer em pares conjugados. Em seguida, os coeficientes de recursão são identificados em (13) e usados ​​em (10) para escrever o filtro recursivo. Tanto o numerador quanto o denominador de podem ser fatorados em fatores quadráticos com coeficientes reais e possivelmente um ou dois fatores lineares com coeficientes reais. Os seguintes princípios são usados ​​para construir. (I) Zeroing Out Factors Para filtrar os sinais e, usar fatores da forma no numerador de. (Ii) Fatores de Impulso Para amplificar os sinais e, fatores de uso da transformada formZ A Z-transform e a Z-transformada avançada foram introduzidas (sob o nome Z-transform) pelo Júri de EI em 1958 em Sistemas de Controle de Dados Amostrados (John Wiley amp Sons). A idéia contida dentro da transformada Z era anteriormente conhecida como o método da função geradora. Z-transform é um nome de marcador de posição, semelhante a chamar a transformar Laplace a s-transform. Mais preciso seria transformar Laurent, porque é baseado na série Laurent. A transformação Z (unilateral) é para sinais de domínio de tempo discretos o que a transformada de Laplace de um lado é para sinais de domínio de tempo contínuo. Definição A transformada Z, como muitas outras transformações integrais, pode ser definida como uma transformação unilateral ou de dois lados. Transformação Z bilateral A transformação Z bilateral ou bidimensional de um sinal de tempo discreto xn é a função X (z) definida como onde n é um inteiro e z é, em geral, um número complexo. Transformação Z unilateral Alternativamente, nos casos em que x n é definido apenas para n 8805 0, a transformada Z de um lado ou unilateral é definida como processamento de sinal In. Esta definição é usada quando o sinal é causal. Um exemplo importante da transformação Z unilateral é a função geradora de probabilidade. Onde a componente xn é a probabilidade de que uma variável aleatória discreta tome o valor n. E a função X (z) é usualmente escrita como X (s). Em termos de s z 87221. As propriedades das transformações Z (abaixo) têm interpretações úteis no contexto da teoria da probabilidade. Inversão da Transformação-Z A inversa da Transformação-Z é um caso especial desta integral de contorno que é simplesmente aquele onde é o círculo unitário (e pode ser usado quando o ROC inclui o círculo unitário) é a transformada de Fourier discreta inversa. . A transformada Z com uma gama finita de n e um número finito de valores z uniformemente espaçados pode ser calculada eficientemente através do algoritmo FFT de Bluesteins. A transformada discreta de Fourier (DFT) é um caso especial de uma tal transformada Z obtida ao restringir z a ficar no círculo unitário. Região de convergência A região de convergência (ROC) é onde a transformada Z de um sinal tem uma soma finita para uma região no plano complexo. Exemplo 1 (N ° ROC) Observando a soma Exemplo 2 (ROC causal) Observando a soma Exemplo 3 (RC anticausal) Observando a soma Exemplos de conclusão Exemplos 2 amp 3 mostram claramente que a transformada Z é única quando e somente quando Especificando o ROC. A criação do gráfico do pólo-zero para o caso causal e anticausal mostra que o ROC para qualquer caso não inclui o pólo que está em 0.5. Isso se estende a casos com vários pólos: o ROC nunca conterá pólos. A estabilidade de um sistema também pode ser determinada pelo conhecimento do ROC sozinho. Se o ROC contiver o círculo de unidade (i. e.) então o sistema é estável. Nos sistemas acima, o sistema causal é estável porque contém o círculo unitário. Se você precisa de estabilidade, o ROC deve conter o círculo da unidade. Se você precisa de um sistema causal, então o ROC deve conter o infinito. Se você precisa de um sistema anticausal então o ROC deve conter a origem. Propriedades Tabela de pares de transformação Z comuns